00 函数

零、函数

1. 函数

定义：从一个集合（定义域）到另一个集合（值域）的唯一确定的映射关系 $f: X \to Y$。

视角：这是最底层的概念，只关心“给一个 $x$，得一个 $y$”。

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2. 向量值函数

定义：输入一个实数 $t$，输出一个向量 $\mathbf{v}$。

形式：$\mathbf{r}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n$

联系：

• 参数方程 $\begin{cases} x = \cos t \ y = \sin t \end{cases}$ 等价于 向量值函数 $\mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t \rangle$。
• 参数方程本身不是函数（因为自变量是隐式的），但由它构造出的映射是函数。
• 这是复值函数在二维实空间上的几何同构体（见下文对比）。

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3. 复值函数

定义：只要值域是复数集 $\mathbb{C}$ 的函数。定义域可以是实数，也可以是复数。

子分类：

• 若自变量是实数 $t$：$f(t) = e^{it} = \cos t + i\sin t$ （实质等同于二维向量值函数）。
• 若自变量是复数 $z$：$f(z) = z^2$ （这就是复变函数）。

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4. 复变函数

定义：定义域和值域都是复数域 $\mathbb{C}$ 的函数。$f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$。

核心区别： 虽然复数 $z = x+iy$ 看起来像二维向量 $(x,y)$，但复变函数比二维向量值函数多了解析性（可导性）的强约束。

对比项	二维向量值函数 $\mathbf{F}(x,y)$	复变函数 $f(z)$
写法	$\mathbf{F} = (u(x,y), v(x,y))$	$f = u(x,y) + i v(x,y)$
乘法	无自然乘法（只有点积/叉积）	有复数乘法结构
可导条件	偏导数存在即可（弱）	必须满足柯西-黎曼方程（强）
结论	复变函数是具有额外代数结构的二维向量场。